Question

9．函數(shù)f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=1代入f（x），求出函數(shù)的導數(shù)，得到f（1）和f′（1）的值，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）法一：分離參數(shù)法求出a的范圍，法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f （x）=x³+3x²+3x，f′（x）=3x²+6x+3，
∴f（1）=7，f′（1）=12，…（3分）
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-7=12（x-1），
即12x-y-5=0．…（5分）
（Ⅱ）（法一）f′（x）=3ax²+6x+3≥0，在區(qū)間（1，2）上恒成立，
即$a\;≥\;-\frac{2x+1}{x^2}=-（\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}）$，…（7分）
而y=$-（\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}）$在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，
則$y＜-（\frac{1}{4}+1）=-\frac{5}{4}$，∴$a\;≥\;-\frac{5}{4}$，…（11分）
又a≠0，∴a的取值范圍是$[-\frac{5}{4}\;，\;\;0）$∪（0，+∞）．                        …（12分）
（法二）當a＞0，1＜x＜2時，f′（x）=3ax²+6x+3＞0，
當a＞0時，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，符合題意．                       …（7分）
當a＜0時，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，當且僅當f′（1）≥0且f′（2）≥0，
解得-$\frac{5}{4}$≤a＜0．…（11分）
綜上，a的取值范圍是$[-\frac{5}{4}\;，\;\;0）$∪（0，+∞）．                            …（12分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．