Question

6．已知a＞0，a≠1，比較|log_a（1-x）|與|log_a（1+x）|的大�。�

Answer 1

分析 先通過討論兩個(gè)對(duì)數(shù)的符號(hào)，去掉絕對(duì)值，然后利用作差法比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大�。�

解答 解：由1-x＞0，且1+x＞0得，-1＜x＜1，則0＜1-x²＜1，
（1）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，1＜1-x＜2，0＜1+x＜1．
①若0＜a＜1，則log_a（1-x）＜0，log_a（1+x）＞0．
所以|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=-log_a（1-x）-log_a（1+x）=-log_a（1-x²）＜0，
此時(shí)|log_a（1-x）|＜|log_a（1+x）|．
②若a＞1，則log_a（1-x）＞0，log_a（1+x）＜0．
所以|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=log_a（1-x）+log_a（1+x）=log_a（1-x²），
因?yàn)?＜1-x²＜1，a＞1，所以log_a（1-x²）＜0，即-log_a（1-x²）＜0，
此時(shí)|log_a（1-x）|＜|log_a（1+x）|．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，1-x=1，1+x=1．
所以log_a（1-x）=0，log_a（1+x）=0．
此時(shí)|log_a（1-x）|=|log_a（1+x）|．
（3）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，0＜1-x＜1，1＜1+x＜2．
①若0＜a＜1，則log_a（1-x）＞0，log_a（1+x）＜0．
所以|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=log_a（1-x）+log_a（1+x）=log_a（1-x²）＞0，
此時(shí)|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．
②若a＞1，則log_a（1-x）＜0，log_a（1+x）＞0．
所以|log_a（1-x）|-|log_a（1+x）|=-log_a（1-x）-log_a（1+x）=-log_a（1-x²）＞0，
此時(shí)|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．
綜上可得：當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，|log_a（1-x）|＜|log_a（1+x）|；當(dāng)x=0時(shí)，|log_a（1-x）|=|log_a（1+x）|；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，|log_a（1-x）|＞|log_a（1+x）|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，通過討論去掉絕對(duì)值是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．