Question

15．社會(huì)公眾人物的言行一定程度上影響著年輕人的人生觀、價(jià)值觀．某媒體機(jī)構(gòu)為了解大學(xué)生對(duì)影視、歌星以及著名主持人方面的新聞（簡(jiǎn)稱：“星聞”）的關(guān)注情況，隨機(jī)調(diào)查了某大學(xué)的200位大學(xué)生，得到信息如表：

	男大學(xué)生	女大學(xué)生
不關(guān)注“星聞”	80	40
關(guān)注“星聞”	40	40

（Ⅰ）從所抽取的200人內(nèi)關(guān)注“星聞”的大學(xué)生中，再抽取三人做進(jìn)一步調(diào)查，求這三人性別不全相同的概率；
（Ⅱ）是否有95%以上的把握認(rèn)為“關(guān)注‘星聞’與性別有關(guān)”，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）把以上的頻率視為概率，若從該大學(xué)隨機(jī)抽取4位男大學(xué)生，設(shè)這4人中關(guān)注“星聞”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}，n=a+b+c+d$．

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）從所抽取的200人內(nèi)關(guān)注“星聞”的大學(xué)生中，再抽取三人做進(jìn)一步調(diào)查，利用逆向思維求這三人性別不全相同的概率；
（Ⅱ）求出k，即可判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為“關(guān)注‘星聞’與性別有關(guān)”；
（Ⅲ）任意一名男大學(xué)生關(guān)注“星聞”的概率為$\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$，不關(guān)注“星聞”的概率為$\frac{2}{3}$．求出ξ所有可能取值為0，1，2，3，4．推出概率，列出分布列然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知從所抽取的200人內(nèi)關(guān)注“星聞”的大學(xué)生中，
再抽取三人做進(jìn)一步調(diào)查，這三人性別不全相同的概率，可知所求概率$P=1-\frac{{2C_{40}^3}}{{C_{80}^3}}=\frac{60}{79}$．                     
…（3分）
（Ⅱ）由于$k=\frac{{200×{{（80×40-40×40）}^2}}}{120×80×120×80}=\frac{50}{9}≈5.556＞3.841$．          …（5分）
故有95%以上的把握認(rèn)為“關(guān)注‘星聞’與性別有關(guān)”．…（6分）
（Ⅲ）由題意，可得任意一名男大學(xué)生關(guān)注“星聞”的概率為$\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$，
不關(guān)注“星聞”的概率為$\frac{2}{3}$．…（7分）
ξ所有可能取值為0，1，2，3，4．
$P（ξ=0）={（{\frac{2}{3}}）^4}=\frac{16}{81}$；
$P（ξ=1）=C_4^1×\frac{1}{3}×{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{32}{81}$；
$P（ξ=2）=C_4^2×{（{\frac{1}{3}}）^2}×{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$；
$P（ξ=3）=C_4^3×{（{\frac{1}{3}}）^3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{81}$；
$P（ξ=4）={（{\frac{1}{3}}）^4}=\frac{1}{81}$．…（10分）
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

…（11分）
因?yàn)?ξ～B（4，\frac{1}{3}）$，所以$E（ξ）=\frac{4}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，期望的求法，獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．