Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，動圓經(jīng)過點M（a-2，0），N（a+2，0），P（0，-2），其中a∈R．
（1）求動圓圓心的軌跡E的方程；
（2）過點P作直線l交軌跡E于不同的兩點A、B，直線OA與直線OB分別交直線y=2于兩點C、D，記△ACD與△BCD的面積分別為S₁，S₂．求S₁+S₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法求動圓圓心的軌跡E的方程；
（2）直線l的斜率一定存在，設(shè)l的方程為y=kx-2，求出S₁，S₂．利用導(dǎo)數(shù)的方法求S₁+S₂的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為（x，y），則$\sqrt{{y}^{2}+4}=\sqrt{（x-0）^{2}+（y+2）^{2}}$，可知$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}$．
所以動圓圓心的軌跡E的方程 $y=-\frac{1}{4}{x}^{2}$．…（4分）
（Ⅱ）直線l的斜率一定存在，設(shè)l的方程為y=kx-2，
與拋物線方程聯(lián)立，得x²+4kx-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-8，
設(shè)直線OA方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，
y=2，得C的橫坐標(biāo)-$\frac{8}{{x}_{1}}$．
同理得D的橫坐標(biāo)-$\frac{8}{{x}_{2}}$，
所以|CD|=|$\frac{8（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$|=4$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
所以S₁=$\frac{1}{2}|CD||2-{y}_{1}|$=2（4-kx₁）$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
同理S₂=2（4-kx₂）$\sqrt{{k}^{2}+2}$，
則S₁+S₂=8$（{k}^{2}+2）\sqrt{{k}^{2}+2}$…（10分）
令t=$\sqrt{{k}^{2}+2}$，（t≥$\sqrt{2}$），則S₁+S₂=8t³
令f（t）=8t³，則f′（t）=24t²，t$＞\sqrt{2}$時，f′（t）＞0
所以f（t）=8t³是[$\sqrt{2}，+∞$）的增函數(shù)，所以f（t）$≥16\sqrt{2}$，
即S₁+S₂的最小值為16$\sqrt{2}$…（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，屬于中檔題．