Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=$\frac{x-1}{2x}$．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-2g（x），若函數(shù)F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-1，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）當(dāng)m=$\frac{3}{16}$時(shí)，若不等式f（x）+t≤kx+b≤g（x）對(duì)?x∈[2，4]恒成立，試給出實(shí)數(shù)t的一個(gè)值，使?jié)M足條件的實(shí)數(shù)k，b唯一，并直接寫出k，b的值（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，分類討論即可求出m的值；
（3）分別根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值，求出在[1，2]上的f（x）_max，g（x）_min，得到$\frac{ln8}{8}$+t≤kx+b≤$\frac{1}{4}$，即可求出實(shí)數(shù)t的一個(gè)值，使?jié)M足條件的實(shí)數(shù)k，b唯一．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=lnx，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=0，
∴y=f（x）在x=1處的切線方程y=x-1，
（2）F（x）=f（x）-2g（x）=mlnx-$\frac{x-1}{x}$=mlnx-1+$\frac{1}{x}$
∴F′（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{mx-1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)m≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0恒成立，
∴F（x）在[1，e]單調(diào)遞減，
∴F（x）_min=F（e）=m-1+$\frac{1}{e}$=-1，
解得m=$\frac{1}{e}$（舍去），
當(dāng)m＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=0，解得x=$\frac{1}{m}$，
當(dāng)F′（x）＞0時(shí)，即x＞$\frac{1}{m}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)F′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜$\frac{1}{m}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
若$\frac{1}{m}$≤1時(shí)，即m≥1時(shí)，函數(shù)F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（1）=-1+1=0≠-1，
若$\frac{1}{m}$≥e，即0＜m≤$\frac{1}{e}$時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，e]單調(diào)遞減，
∴F（x）_min=F（e）=m-1+$\frac{1}{e}$=-1，
解得m=-$\frac{1}{e}$，
若1＜$\frac{1}{m}$＜e時(shí)，即$\frac{1}{e}$＜m＜1時(shí)，F(xiàn)（x）在[1，$\frac{1}{m}$]單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{m}$，e]上單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（$\frac{1}{m}$）=mln$\frac{1}{m}$-1+m=-1，
解得m=e（舍去），
綜上所述m=-$\frac{1}{e}$；
（3）當(dāng)m=$\frac{3}{16}$時(shí)，f（x）=$\frac{3}{16}$lnx，
∴f（x）=$\frac{3}{16}$lnx，在[2，4]單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（4）=$\frac{3}{16}$ln4=$\frac{3}{8}$ln2=$\frac{ln8}{8}$
∴[f（x）+t]_max=$\frac{ln8}{8}$+t，
∵g（x）=$\frac{x-1}{2x}$，
∴g′（x）=$\frac{1}{2{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴g（x）在[2，4]單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（2）=$\frac{1}{4}$，
∵f（x）+t≤kx+b≤g（x）對(duì)?x∈[2，4]恒成立，
∴$\frac{ln8}{8}$+t≤kx+b≤$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{ln8}{8}$+t≤$\frac{1}{4}$，
即t=-$\frac{1}{4}$-$\frac{ln8}{8}$，
則kx+b=$\frac{1}{4}$在[2，4]恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-\frac{1}{4}}\\{4k+b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{12}$，b=-$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及和最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，考查了分析問題，解決問題的能力，屬于難題．