Question

17．設(shè)橢圓C：$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（2，0），離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求C的方程；
（2）過點（1，0）且斜率為1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求AB的中點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程可知焦點在x軸上，因此（2，0）為橢圓的右頂點，則a=2，由橢圓的離心率公式可知，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即可求得b的值，即可求得C的方程；
（2）設(shè)直線l的方程y=x-1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線方程求得x₁+x₂，y₁+y₂，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，求得AB的中點M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）可知：焦點在x軸上，過（2，0），
∴a=2，
由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得：b²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由題意可知：直線方程為y=x-1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：7x²-8x-8=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，
y₁+y₂=x₁-1+x₂-1=-$\frac{6}{7}$，
由中點坐標(biāo)公式可知x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4}{7}$，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{3}{7}$，
∴AB的中點M的坐標(biāo)（$\frac{4}{7}$，-$\frac{3}{7}$）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式，考查計算能力，屬于中檔題．