Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}$，C_n=$\frac{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{b_nb_{n+1}}}}$，記數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$，可得數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系，從而可判斷該數(shù)列為等比數(shù)列，得解；
（2）由${c}_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，用裂項(xiàng)相消法易求．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由2S₁=1-a₁得：${a_1}=\frac{1}{3}$．           
由2S_n=1-a_n①
∴2S_n-1=1-a_n-1 （n≥2）②
上面兩式相減，得：${a_n}=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$．（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列．
∴${a_n}=\frac{1}{3^n}（n∈{N^*}）$．
（2）∵${a_n}=\frac{1}{3^n}（n∈{N^*}）$，
∴${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}{（\frac{1}{3}）^n}$=n．  
∴$C_n=\frac{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{n（n+1）}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}$，
$\begin{array}{l}{∴T}_n=C_1+C_2+…+C_n\\=（1-\frac{1}{{\sqrt{2}}}）+（\frac{1}{{\sqrt{2}}}-\frac{1}{{\sqrt{3}}}）+（\frac{1}{{\sqrt{3}}}-\frac{1}{{\sqrt{4}}}）+…+（\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}）=1-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}\end{array}$，
∵n∈N^*，
∴${T_n}=1-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和方法．第一問解題關(guān)鍵在于公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}}&{n≥2}\end{array}\right.$的運(yùn)用，考查了轉(zhuǎn)化的思想方法．第二問考查數(shù)列求和，根據(jù)通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)裂項(xiàng)求和是解題關(guān)鍵．屬于中檔題．