Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與曲線

x2

3a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的交點(diǎn)恰為某正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、3
• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出兩曲線的交點(diǎn)，由正方形的各邊相等，得到a，b的關(guān)系，再由雙曲線的a，b，c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，即可計(jì)算得到．

解答： 解：由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與曲線

x2

3a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
解得，x²=

3

2

a²，y²=

1

2

b²．
即有交點(diǎn)為A（

6

2

a，

2

2

b），B（-

6

2

a，

2

2

b），
C（-

6

2

a，-

2

2

b），D（

6

2

a，-

2

2

b），
由于交點(diǎn)恰為某正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，
則|AB|=|BC|，
即為

6

a=

2

b，即b=

3

a，
c=

a2+b2

=2a，
則有離心率為e=

c

a

=2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，同時(shí)考查兩曲線的交點(diǎn)問題，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．