【題目】如圖幾何體是圓錐的一部分,它是Rt△ABC(及其內(nèi)部)以一條直角邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)150°得到的,AB=BC=2,P是弧上一點(diǎn),且EB⊥AP.
(1)求∠CBP的大小;
(2)若Q為AE的中點(diǎn),D為弧的中點(diǎn),求二面角Q﹣BD﹣P的余弦值;
(3)直線AC上是否存在一點(diǎn)M,使得B、D、M、Q四點(diǎn)共面?若存在,請(qǐng)說明點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)60°(2)(3)存在;直線AC與平面BQD相交,交點(diǎn)為所求點(diǎn)M
【解析】
(1)根據(jù)線面垂直推出線線垂直,結(jié)合已知角度的大小,即可求得;
(2)根據(jù)二面角的定義,作出二面角的補(bǔ)角,求得該補(bǔ)角后,再求出原二面角大小即可.
(3)假設(shè)與平面平行,推證矛盾,再說明點(diǎn)所在位置即為直線與平面的交點(diǎn)即可.
(1)∵AB⊥平面BEC,∴AB⊥BE,
又EB⊥AP,AB∩AP=A,
∴BE⊥平面ABP,則EB⊥BP,
又∠EBC=150°
∴∠CBP=60°;
(2)過Q作QF⊥BE,垂直為F,則QF⊥平面BEC,
過F作FG⊥BD,垂直為G,連接QG,如下圖所示:
則∠QGF為二面角Q﹣BD﹣E的平面角,
∵D為弧EP的中點(diǎn),∴∠FBG=45°,
∵Q是AE的中點(diǎn),∴QF,
因?yàn)?/span>QF⊥BE,,故可得//,
則點(diǎn)也是的中點(diǎn),故BF,
因?yàn)?/span>QF⊥BE,,故可得//,
則點(diǎn)也是的中點(diǎn),故BF,
在中,.
因?yàn)?/span>//,平面,故可得平面,
又平面,故可得
則在中,
則在Rt△QGF中,可得cos∠QGF,
因?yàn)槎娼?/span>Q﹣BD﹣P的平面角與二面角Q﹣BD﹣E的平面角互補(bǔ),
∴二面角Q﹣BD﹣P的余弦值為;
(3)直線AC上存在一點(diǎn)M,使得B、D、M、Q四點(diǎn)共面.
事實(shí)上,若直線AC與平面BQD相交,則交點(diǎn)為所求點(diǎn)M.
下面說明直線AC與平面BQD相交:
若AC∥平面BQD,
連接EC,交平面BQD于H,
連接QH,則QH∥AC.
∵Q為AE的中點(diǎn),則H為EC中點(diǎn),
由∠EBD=45°,∠CBD=105°,
可知H不是EC中點(diǎn),矛盾.
∴直線AC與平面BQD相交,交點(diǎn)為所求點(diǎn)M.
即直線AC上存在一點(diǎn)M,使得B、D、M、Q四點(diǎn)共面,
該點(diǎn)為直線AC與平面BQD的交點(diǎn).
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A.-4B.-3C.-2D.0
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(2).
(3)1908和4187的最大公約數(shù)是53.
(4)用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式,當(dāng)時(shí)的值.
(5)古代“五行”學(xué)說認(rèn)為:“物質(zhì)分金,木,土,水,火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,設(shè)事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”,則事件A的概率為.
A.2B.3C.4D.5
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