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4.如圖所示,函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<\frac{π}{2}})離y軸最近的零點(diǎn)與最大值均在拋物線y=-\frac{3}{2}x2+\frac{1}{2}x+1上,則f(x)=(  )
A.f(x)=sin(\frac{1}{6}x+\frac{π}{3})B.f(x)=sin(\frac{1}{2}x+\frac{π}{3})C.f(x)=sin(\frac{π}{2}x+\frac{π}{3})D.f(x)=sin(\frac{π}{2}x+\frac{π}{6})

分析 根據(jù)題意,令y=0,求出點(diǎn)(-\frac{2}{3},0)在函數(shù)f(x)的圖象上,再令y=1,求出點(diǎn)(\frac{1}{3},1)在函數(shù)f(x)的圖象上,從而求出φ與ω的值,即可得出f(x)的解析式.

解答 解:【解法一】根據(jù)題意,令y=0,得-\frac{3}{2}x2+\frac{1}{2}x+1=0,
解得x=-\frac{2}{3}或x=1;
∴點(diǎn)(-\frac{2}{3},0)在函數(shù)f(x)的圖象上,
令y=1,解得x=0或x=\frac{1}{3},
∴點(diǎn)(\frac{1}{3},1)在函數(shù)f(x)的圖象上,
∴T=4;
∴ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{2};
由(\frac{1}{3},1)在f(x)的圖象上,得sin(\frac{π}{2}×\frac{1}{3}+φ)=1,
\frac{π}{6}+φ=2kπ+\frac{π}{2},k∈Z;
又|φ|<\frac{π}{2},
∴k=0時(shí),φ=\frac{π}{3}
∴f(x)=sin(\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}).
故選:C.
【解法二】函數(shù)f(x)離y軸最近的零點(diǎn)與最大值均在拋物線y=-\frac{3}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1上,
令y=0,得-\frac{3}{2}x2+\frac{1}{2}x+1=0,
解得x=-\frac{2}{3}或x=1;
∴點(diǎn)(-\frac{2}{3},0)在函數(shù)f(x)的圖象上,
∴-\frac{2}{3}ω+φ=0,即φ=\frac{2}{3}ω①;
又令ωx+φ=\frac{π}{2},得ωx=\frac{π}{2}-φ②;
把①代入②得,x=\frac{π}{2ω}-\frac{2}{3}③;
令y=1,得-\frac{3}{2}x2+\frac{1}{2}x+1=1,
解得x=0或x=\frac{1}{3}
\frac{π}{2ω}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},
解得ω=\frac{1}{2}π,
∴φ=\frac{2}{3}ω=\frac{π}{3},
∴f(x)=sin(\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}).
故選:C.

點(diǎn)評 本題考查了解函數(shù)y=sin(ωx+φ)以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

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