Question

16．設數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1且a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）用數(shù)學歸納法證明不等式：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜n（n≥2，n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式，和等比數(shù)列的求和公式即可求出答案．
（2）直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=2時不等式成立；（2）假設當n=k（k≥2）時成立，利用放縮法證明n=k+1時，不等式也成立．

解答 （1）解：由題意有：${a_{n+1}}+1=2（{a_n}+1）（n∈{N^*}）$，
即{a_n+1}是一個以a₁+1=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，（2分）
∴${a_n}+1={2^n}，\;\;∴{a_n}={2^n}-1$，（4分）
∴${S_n}={a_1}+{a_2}+…+{a_n}={2^1}+{2^2}+…+{2^n}-n$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-2-n$．（6分）
（2）證明：由（Ⅰ）可得所證不等式為$\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}＜n$（n≥2，n∈N^*）．
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n=2時，左邊=$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}=\frac{4}{3}＜2$，不等式成立；（8分）
②假設n=k（k≥2，k∈N^*）時不等式成立，
即$\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}+…+\frac{1}{{{2^k}-1}}＜k$，
當n=k+1時，不等式左邊=$\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}+…+\frac{1}{{{2^k}-1}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}＜k+\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}$，（10分）
∵k≥2，k∈N^*，∴$\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}＜1$，∴$k+\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}＜k+1$，
∴當n=k+1時，$\frac{1}{{{2^1}-1}}+\frac{1}{{{2^2}-1}}+…+\frac{1}{{{2^k}-1}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}＜k+1$成立，（11分）
綜上①②，對任意n∈N^*，不等式成立．（12分）

點評 本題是中檔題，考查數(shù)學歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應用，考查邏輯推理能力．