Question

12．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F（-$\sqrt{3}$，0），右頂點(diǎn)為D（2，0），設(shè)點(diǎn)A（1，0.5）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由a=2，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，即可求得該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}+\frac{1}{2}}{2}}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，將P代入橢圓方程，即可求得線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由橢圓的左焦點(diǎn)為F（-$\sqrt{3}$，0），右頂點(diǎn)為D（2，0），即a=2，c=$\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；------------------（5分）
（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x₀，y₀），------------------------（6分）
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}+\frac{1}{2}}{2}}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，------------（8分）
由點(diǎn)P在橢圓上，
∴$\frac{（2x-1）^{2}}{4}+（2y-\frac{1}{2}）^{2}=1$，---------（10分）
∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是：（x-$\frac{1}{2}$）²+4（y-$\frac{1}{4}$）²=1．------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查軌跡方程的求法，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．