Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，0≤x＜1}\\{{2}^{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，存在x₂＞x₁≥0，使得f（x₁）=f（x₂），則x₁•f（x₂）的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{4}$，1）
• D． [1，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合求得x₁•f（x₂）的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)0≤x＜1時(shí)，$\frac{1}{2}$≤f（x）＜$\frac{3}{2}$，
②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）≥1，
如圖所示，若存在x₂＞x₁≥0使得f（x₁）=f（x₂）
=k，則$\frac{1}{2}$≤x₁＜1≤x₂≤log₂3，
則1≤f（x₂）≤$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×1≤x₁•f（x₂）＜1×$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤x₁•f（x₂）＜$\frac{3}{2}$，
故x₁•f（x₂）的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．