Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

（sin²x-cos²x+

3

）-

3

sin²（x-

π

4

），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的彈道遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（B）=1，b=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出f（x）的遞增區(qū)間即可；
（2）f（B）=1，求出B的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

（

3

-cos2x）-

3

2

[1-cos（2x-

π

2

）]=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）由f（B）=1，得到sin（2B-

π

6

）=1，
∴2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，
則△ABC的面積的最大值為

3

．

點評：此題考查了余弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．