Question

11．隨著國(guó)民生活水平的提高，利用長(zhǎng)假旅游的人越來越多．某公司統(tǒng)計(jì)了2012到2016年五年間本公司職員每年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：

年份（x）	2012	2013	2014	2015	2016
家庭數(shù)（y）	6	10	16	22	26

（Ⅰ）從這5年中隨機(jī)抽取兩年，求外出旅游的家庭數(shù)至少有1年多于20個(gè)的概率；
（Ⅱ）利用所給數(shù)據(jù)，求出春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)與年份之間的回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，判斷它們之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；并根據(jù)所求出的直線方程估計(jì)該公司2019年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)．
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的概率值；
（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)求出回歸直線方程的系數(shù)，寫出對(duì)應(yīng)方程，判斷是正相關(guān)關(guān)系；
利用回歸方程計(jì)算x=2019時(shí)y的值即可．

解答 解：（Ⅰ）從這5年中任意抽取兩年，所有的事件有：
（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012，2016），（2013，2014），
（2013，2015），（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共10種，
至少有1年多于20個(gè)的事件有：
（2012，2015），（2012，2016），（2013，2015），（2013，2016），
（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共7種，
則至少有1年多于20個(gè)的概率為P=$\frac{7}{10}$；
（Ⅱ）由已知數(shù)據(jù)得$\overline{x}$=2014，$\overline{y}$=16，
$\sum_{i=5}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=-2×（-10）+（-1）×（-6）+0×0+1×6+2×10=52，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-1）²+（-2）²+0²+1²+2²=10，
∴$\widehat$=$\frac{52}{10}$=5.2，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=16-5.2×2014=-10456.8，
∴回歸直線的方程為y=5.2x-10456.8，
∴y與x是正相關(guān)關(guān)系；
當(dāng)x=2019時(shí)，y=5.2×2019-10456.8=42，
∴該村2019年在春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)約為42．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率計(jì)算，線性回歸方程的解法及數(shù)值估計(jì)，屬于中檔題．