Question

5．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“折線距離”：d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．則下列命題正確的是（　�。�
①若A（-1，3），B（1，0），則$d（A，B）=\sqrt{13}$；
②若A為定點(diǎn)，B為動(dòng)點(diǎn)，且滿足d（A，B）=1，則B點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；
③若點(diǎn)C在線段AB上，則d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．

• A． ①②
• B． ②
• C． ③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用“折線距離”：d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|，逐一判斷命題①②③即可得到答案．

解答 解：①∵A（-1，3），B（1，0），則d（A，B）=|1-（-1）|+|0-3|=2+5=5，故①錯(cuò)誤；
②不妨令點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B（x，y），則d（A，B）=|x|+|y|=1，B點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形，而不是圓，故②錯(cuò)誤；
③設(shè)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵點(diǎn)C在線段AB上，
∴x₀在x₁、x₂之間，y₀在y₁、y₂之間，不妨令x₁＜x₀＜x₂，y₁＜y₀＜y₂，
則d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|
=x₀-x₁+y₀-y₁+x₂-x₀+y₂-y₀
=x₂-x₁+y₂-y₁
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=d（A，B）成立，故③正確．
∴正確的命題是③．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查創(chuàng)新思維與邏輯思維，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，是中檔題．