Question

9．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（-1）=2，當(dāng)x＞0時，f（x）＜0恒成立．
（1）求f（0），f（2）的值；
（2）若不等式f（t²+3t）+f（t+k）≤4對于t∈R恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0計算f（0），再令y=-x得出f（x）為奇函數(shù)，計算f（-2）即可得出f（2）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，得出t²+4t+k≥-2恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出k的范圍．

解答 解：（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），∴f（0）=0，
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）是奇函數(shù)，
∵f（-2）=f（-1）+f（-1）=4，
∴f（2）=-f（-2）=-4．
（2）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)，
∵f（t²+3t）+f（t+k）≤4，
即f（t²+3t+t+k）≤f（-2），
∴t²+4t+k≥-2，即t²+4t+k+2≥0恒成立，
∴△=16-4（k+2）≤0，解得k≥2．

點(diǎn)評 本題考查了抽象函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性判斷與應(yīng)用，不等式的解法，屬于中檔題．