Question

17．已知$f（x）=\frac{{3{e^{|x|}}-xcosx}}{{{e^{|x|}}}}$在$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的最大值為p，最小值為q，則p+q=6．

Answer 1

分析 將函數(shù)進行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意，f（x）=3-$\frac{xcosx}{{e}^{|x|}}$，
令g（x）=f（x）-3=-$\frac{xcosx}{{e}^{|x|}}$，
則g（-x）=-$\frac{-xcos（-x）}{{e}^{|x|}}$=-g（x），即函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
∵$f（x）=\frac{{3{e^{|x|}}-xcosx}}{{{e^{|x|}}}}$在$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的最大值為p，最小值為q，
∴p-3+q-3=0，
∴p+q=6．
故答案為：6．

點評 本題主要考查函數(shù)的最值的計算，根據(jù)條件構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．