Question

18．設(shè)a，b是正數(shù)，且a≠1，b≠1，求證：$\frac{{a}^{5}-1}{{a}^{4}-1}$•$\frac{^{5}-1}{^{4}-1}$＞$\frac{25}{64}$（a+1）（b+1）．

Answer 1

分析 運(yùn)用$\frac{{a}^{5}-1}{{a}^{4}-1}$=$\frac{{a}^{4}+{a}^{3}+{a}^{2}+a+1}{{a}^{3}+{a}^{2}+a+1}$，作差8（a⁴+a³+a²+a+1）-5（a³+a²+a+1）（a+1），分解因式，判斷符號(hào)，可得$\frac{{a}^{5}-1}{{a}^{4}-1}$＞$\frac{5}{8}$（a+1），同理可得$\frac{^{5}-1}{^{4}-1}$＞$\frac{5}{8}$（b+1），相乘即可得證．

解答 證明：設(shè)a，b是正數(shù)，且a≠1，b≠1，可得
$\frac{{a}^{5}-1}{{a}^{4}-1}$=$\frac{{a}^{4}+{a}^{3}+{a}^{2}+a+1}{{a}^{3}+{a}^{2}+a+1}$，
且8（a⁴+a³+a²+a+1）-5（a³+a²+a+1）（a+1）
=3a⁴-2a³-2a²-2a+3=（a⁴-2a²+1）+2（a⁴-a³-a+1）
=（a²-1）²+2[a³（a-1）-（a-1）]
=（a²-1）²+2（a-1）²（a²+a+1）＞0（a≠1），
則$\frac{{a}^{4}+{a}^{3}+{a}^{2}+a+1}{{a}^{3}+{a}^{2}+a+1}$＞$\frac{5}{8}$（a+1），
即$\frac{{a}^{5}-1}{{a}^{4}-1}$＞$\frac{5}{8}$（a+1），
同理可得$\frac{^{5}-1}{^{4}-1}$＞$\frac{5}{8}$（b+1），
兩式相乘可得$\frac{{a}^{5}-1}{{a}^{4}-1}$•$\frac{^{5}-1}{^{4}-1}$＞$\frac{25}{64}$（a+1）（b+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用作差法和不等式的性質(zhì)：可乘性，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題．