Question

【題目】如果有窮數(shù)列、、、、（為正整數(shù)）滿(mǎn)足條件、、，即，我們稱(chēng)其為“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”.例如，數(shù)列、、、、與數(shù)列、、、、、都是“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”.

（1）設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中、、、是等差數(shù)列，且，，依次寫(xiě)出的每一項(xiàng)；

（2）設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中、、、是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求各項(xiàng)的和；

（3）設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中、、、是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求前項(xiàng)的和.

Answer 1

【答案】（1）、、、、、、；（2）；（3）.

【解析】

（1）由、、、是等差數(shù)列，且，，先求出、、、，然后由“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”的特點(diǎn)可寫(xiě)出數(shù)列的各項(xiàng)；

（2）由、、、是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，先求出、、、的和，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等的特點(diǎn)，可知前面的各項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的和；

（3）由、、、是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，可求出、、、的通項(xiàng)，由對(duì)稱(chēng)數(shù)列的特點(diǎn)，可求出數(shù)列前項(xiàng)的和.

（1）設(shè)數(shù)列、、、的公差為，則，解得.

則，，因此，數(shù)列為：、、、、、、；

（2）由題意得；

（3），.

由題意可知，數(shù)列、、、是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

因此，.