Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）+x=0有三個不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求得函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)解析式分別求得f（x）≥0的解集；
（2）設(shè)u（x）=|x|-|x-1|-x，做出y=u（x）和y=a的圖象，方程f（x）+x=0有三個不同的解，轉(zhuǎn)化成y=u（x）與y=a的圖象始終有3個交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x-1|-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＜0}\\{1-2x，0≤x＜1}\\{-1，x≥1}\end{array}\right.$，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=1＞0，符合題意；
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=1-2x≥0，解得0≤x$≤\frac{1}{2}$；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=-1＜0，不符合題意．
綜上可得，f（x）≥0的解集為（$-∞，\frac{1}{2}$]．
（2）設(shè)u（x）=|x|-|x-1|-x，y=u（x）的圖象
和y=a的圖象如圖所示．
易知y=u（x）的圖象與y=a的圖象有3個交點(diǎn)時(shí)，
a∈（-1，0），
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式求解，函數(shù)與方程的應(yīng)用，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題