Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（{2cosα，{{sin}^2}α}），\overrightarrow b=（{2sinα，t}），α∈（{0，\frac{π}{2}}），t$為實(shí)數(shù)．
（1）若$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（{\frac{2}{5}，0}）$，求t的值；
（2）若t=1，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，求$tan（{2α+\frac{π}{4}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和同角的平方關(guān)系，即可求得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，進(jìn)而得到t的值；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合條件的商數(shù)關(guān)系，求得tanα，再由二倍角的正切公式和和角公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（{2cosα，{{sin}^2}α}），\overrightarrow b=（{2sinα，t}），α∈（{0，\frac{π}{2}}），t$為實(shí)數(shù)，
若$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（{\frac{2}{5}，0}）$，則（2cosα-2sinα，sin²α-t）=（$\frac{2}{5}$，0），
可得cosα-sinα=$\frac{1}{5}$，平方可得sin²α+cos²α-2cosαsinα=$\frac{1}{25}$，
即為2cosαsinα=1-$\frac{1}{25}$=$\frac{24}{25}$，（cosα＞0，sinα＞0），
由sin²α+cos²α=1，解得cosα+sinα=$\sqrt{（cosα-sinα）^{2}+4sinαcosα}$=$\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{48}{25}}$=$\frac{7}{5}$，
即有sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．
則t=sin²α=$\frac{9}{25}$；
（2）若t=1，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，即有4cosαsinα+sin²α=1，
即有4cosαsinα=1-sin²α=cos²α，
由α為銳角，可得cosα∈（0，1），即有tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{4}$，
則tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{8}{15}$，
$tan（{2α+\frac{π}{4}}）$=$\frac{tan2α+1}{1-tan2α}$=$\frac{1+\frac{8}{15}}{1-\frac{8}{15}}$=$\frac{23}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查同角的基本關(guān)系式和二倍角正切公式及和角公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．