Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：（1+λ）x+（λ+2）y-6-3λ=0過(guò)定點(diǎn)A，已知圓C的半徑為1，且圓心在直線y=2x-4上．
（1）若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（6，3），N（4，5），過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，若切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求直線EF的方程；
（2）在條件（1）下，過(guò)點(diǎn)B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）作直線交圓C于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|最小時(shí)直線的方程；
（3）若圓C上存在點(diǎn)Q，使|QA|=2|QO|，求Q點(diǎn)的軌跡方程，并求出圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由直線系方程求出A點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）求出MN的中垂線方程，聯(lián)立兩直線方程求得圓心C的坐標(biāo)，則圓的方程可得，再求出以CA為直徑的圓的方程，由圓系方程求得直線EF的方程；
（2）由題意可知，點(diǎn)B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）在圓C內(nèi)部，要使|PQ|最小，則PQ所在直線垂直BC，求出BC所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求得|PQ|最小時(shí)直線的方程；
（3）設(shè)出圓心C的坐標(biāo)，表示出圓的方程，設(shè)出Q，進(jìn)而根據(jù)|QA|=2|QO|求得Q的軌跡方程，判斷出點(diǎn)Q應(yīng)該既在圓C上又在圓D上，且圓C和圓D有交點(diǎn)，由此確定不等關(guān)系求得a的范圍．

解答 解：由直線l：（1+λ）x+（λ+2）y-6-3λ=0，得λ（x+y-3）+（x+2y-6）=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x+2y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（0，3），
（1）∵M(jìn)（6，3），N（4，5），
∴M，N的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4），${k}_{MN}=\frac{5-3}{4-6}=-1$，
則MN的中垂線方程為y-4=1×（x-5），即x-y-1=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$，求得圓心坐標(biāo)為C（3，2），圓C的半徑為$\sqrt{（6-3）^{2}+（3-2）^{2}}=\sqrt{10}$，
圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=10，即x²+y²-6x-4y+3=0．①
CA的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}，\frac{5}{2}$），|CA|=$\sqrt{（3-0）^{2}+（2-3）^{2}}=\sqrt{10}$，
∴以CA為直徑的圓的方程為$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{5}{2}）^{2}=（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}$．
即x²+y²-3x-5y+6=0．②
①-②得：直線EF的方程為3x-y+3=0；
（2）圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=10．
點(diǎn)B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）在圓C內(nèi)部，要使|PQ|最小，則PQ所在直線垂直BC，
∵${k}_{BC}=\frac{2-\frac{3}{2}}{3-\frac{5}{2}}=1$，∴PQ所在直線的斜率為-1，
∴PQ所在直線方程為y-$\frac{3}{2}=-1×（x-\frac{5}{2}）$，即x+y-4=0；
（3）∵圓C的圓心在直線y=2x-4上，∴設(shè)圓心C為（a，2a-4），
則圓C的方程為：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1．
又|QA|=2|QO|，設(shè)Q為（x，y），則$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
整理得：x²+（y+1）²=4，設(shè)該方程對(duì)應(yīng)的圓為D，
點(diǎn)Q應(yīng)該既在圓C上又在圓D上，且圓C和圓D有交點(diǎn)．則|2-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+[2a-4-（-1）]^{2}}$≤|2+1|．
由5a²-12a+8≥0，得a∈R．
由5a²-12a≤0，得0≤a≤$\frac{12}{5}$．
∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為[0，$\frac{12}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，考查運(yùn)算能力，是中檔題．