Question

12．已知數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為a的等差數(shù)列，數(shù)列{${a_{2^n}}$+2ⁿ}是公比為q的等比數(shù)列，則q=1，或2，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≠-1．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∴a₂+2=a+2+d，a₄+4=a+3d+4，a₈+8=a+7d+8，
∵數(shù)列{${a_{2^n}}$+2ⁿ}是公比為q的等比數(shù)列，
∴（a+3d+4）²=（a+2+d）（a+7d+8），
化為：d=-1或d=a．
①d=-1時(shí)，a₂+2=a+1，a₄+4=a+1，a₈+8=a+1，
a≠-1時(shí)，q=1．
②d=a，a₂+2=2a+2，a₄+4=4a+4，a₈+8=8a+8，
a≠-1時(shí)，q=2．
綜上可得：q=1，2，a≠-1．
故答案分別為：q=1，2；a≠-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．