Question

2．已知$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow$|=4，求：
（1）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可先求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-10$，而$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$，進(jìn)行數(shù)量積的運算便可求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$；
（2）根據(jù)一個向量在另一個向量方向上投影的定義便可得出所求投影為$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，然后進(jìn)行數(shù)量積的運算便可得出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-10$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{25-20+16}=\sqrt{21}$；
（2）向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•cos＜（\overrightarrow{a}+\overrightarrow），\overrightarrow{a}＞$=$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{25-10}{5}=3$．

點評 考查向量數(shù)量積的運算及計算公式，根據(jù)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$求向量長度的方法，以及一個向量在另一個向量方向上的投影的定義．