Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²-alnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）=2，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），--------------（1分）
f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，---------------------（2分）
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，
∴f′（1）=a=2．----------------------------（4分）
（2）由于f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，
所以令g（x）=2x²-2x+a，則△=4-8a，
（i）當(dāng)△≤0，即a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）≥0，從而f′（x）≥0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；---------------------------（6分）
（ii）當(dāng)△＞0，即a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=0的兩個(gè)根為x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
∵當(dāng)$\sqrt{1-2a}$≥1，即a≤0時(shí)，x₁≤0，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，x₁＞0．-----（8分）
∴①當(dāng)a≤0時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得x＞$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＜0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得：0＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
∴此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）上單調(diào)遞減，
在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；----------------（10分）
當(dāng)②0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得：x＞$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$或0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）＜0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，得$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
∴此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$）和（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
在（$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）上單調(diào)遞減．-----------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方差問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．