Question

18．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求線段DE的長；
（Ⅱ）求直線A₁E與平面ADD₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點(diǎn)，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段DE的長．
（Ⅱ）求出平面ADD₁A₁的一個(gè)法向量，利用向量法能求出直線A₁E與平面ADD₁A₁所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），E（1，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0），
∴線段DE的長|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{0}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）∵A₁（2，0，2），E（1，2，0），∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，2，-2），
∵平面ADD₁A₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}E}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{0+4+0}{3×2}$=$\frac{2}{3}$，
∵直線A₁E與平面ADD₁A₁所成角的正弦值等于$cos＜\overrightarrow{{A}_{1}E}，\overrightarrow{DC}＞$，
∴直線A₁E與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線段長的求法，考查直線角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．