Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點$（-1，\frac{3}{2}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=x+m與橢圓C相切，點M，N是直線l上的兩點，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l，求四邊形F₁MNF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）將直線的方程y=x+m，代入橢圓C的方程，消去y，得到x的二次方程，運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，再由點到直線的距離公式，結(jié)合直角梯形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，所以${b^2}=\frac{3}{4}{a^2}$，
又點$（-1，\frac{3}{2}）$在該橢圓C上，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{{\frac{9}{4}}}{b^2}=1$．
解得a²=4，b²=3．
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）將直線的方程y=x+m，代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，
得7x²+8mx+4m²-12=0，
由直線與橢圓C僅有一個公共點可知，△=64m²-28（4m²-12）=0，
化簡得，m²=7．
由F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)${d_1}=|{{F_1}M}|=\frac{{|{-1+m}|}}{{\sqrt{2}}}$，${d_2}=|{{F_2}N}|=\frac{{|{1+m}|}}{{\sqrt{2}}}$，
由直線l的斜率為1，可得|d₁-d₂|=|MN|，
所以四邊形F₁MNF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|d₁-d₂|（d₁+d₂）
=$\frac{1}{2}$|d₁²-d₂²|=$\frac{1}{2}$•2|m|=|m|=$\sqrt{7}$．
故四邊形F₁MNF₂的面積為$\sqrt{7}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率和點滿足橢圓方程，考查四邊形的面積的求法，注意運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，考查點到直線的距離公式的運用，以及運算化簡整理能力，屬于中檔題．