Question

為爭強學生社會主義價值觀的意識，某中學高三年級組織了社會主義價值觀知識競賽，并隨機抽取了甲、乙兩個班中各5名學生的成績，成績如下所示：

甲班	88	89	92	92	94
乙班	86	90	92	93	94

（1）根據表中的數(shù)據，分別求出甲、乙兩個班成績的平均數(shù)和方差，并判斷對社會主義價值觀知識的掌握哪個班更穩(wěn)定？
（2）從甲、乙兩班競賽成績在90分以上（含90分）的同學中隨機抽取2名，記這兩名來自甲班的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,極差、方差與標準差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用平均數(shù)和方差計算公式，分別求出甲、乙兩班成績的平均數(shù)和方差，從而得到

.

x甲

=

.

x乙

，S甲2＜S乙2，由此得到對社會主義價值觀知識的掌握甲班更穩(wěn)定．
（2）甲、乙兩班競賽成績在90分以上（含90分）的同學中甲班有3人，乙班有4人，由此得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

解答： 解：（1）甲班成績的平均數(shù)為：

.

x甲

=

1

5

（88+89+92+92+94）=91，
乙班成績的平均數(shù)為：

.

x乙

=

1

5

(86+90+92+93+94)=91，
甲班成績的方差為：
S甲2=

1

5

[（88-91）²+（89-91）²+（92-91）²+（92-91）²+（94-91）²]=4.8，
乙班成績的方差為：
S乙2=

1

5

[（86-91）²+（90-91）²+（92-91）²+（93-91）²+（94-91）²]=8，
∵

.

x甲

=

.

x乙

，S甲2＜S乙2，
∴對社會主義價值觀知識的掌握甲班更穩(wěn)定．
（2）甲、乙兩班競賽成績在90分以上（含90分）的同學中甲班有3人，乙班有4人，
由此得X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=

C 2 4

C 2 7

=

6

21

，
P（X=1）=

C 1 3 C 1 4

C 2 7

=

12

21

，
P（X=2）=

C 2 3

C 2 7

=

3

21

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	6 21	12 21	3 21

EX=0×

6

21

+1×

12

21

+2×

3

21

=

6

7

．

點評：本題考查平均數(shù)和方差的求法與應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．