Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）寫出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想，并求出a_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和求得S₁，S₂，S₃，S₄，可知分母和分子分別是等差數(shù)列進(jìn)而可猜想出S_n．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，有S_k=$\frac{2k}{k+1}$，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答 解：（1）：∵a₁=1，S_n=n²a_n，∴S₁=a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=a₁+a₂=4a₂，解得a₂=$\frac{1}{3}$，S₂=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=a₁+a₂+a₃=9a₃，解得a₃=$\frac{1}{6}$，S₃=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)n=4時(shí)，S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=16a₄，解得a₄=$\frac{1}{10}$，S₄=$\frac{8}{5}$，
∴S_n=$\frac{2n}{n+1}$
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即S_k=$\frac{2k}{k+1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，則S_k+1=（k+1）²a_k+1=（k+1）²（S_k+1-S_k），
∴（k²+2k）S_k+1=（k+1）²S_k=（k+1）²$\frac{2k}{k+1}$，
∴S_k+1=$\frac{2（k+1）}{k+2}$
故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有S_n=$\frac{2n}{n+1}$，
∵S_n=n²a_n，
∴a_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2n}{n+1}}{{n}^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．