Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a．求：
（1）AB與B₁C所成的角；
（2）AB與B₁C間的距離；
（3）AB與B₁D間的距離．

Answer 1

分析：（1）說明∠B₁CD是AB與B₁C所成角，通過∠DCB₁=90°證明AB與B₁C所成的角為90°；
（2）連接BC₁交B₁C于O，則BO⊥B₁C．說明BO是異面直線AB和B₁C的公垂線段，直接求出AB與B₁C間的距離；
（3）說明AB與平面B₁DC間的距離即為AB與B₁D間的距離，利用垂直關(guān)系直接求出AB與B₁D間的距離．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B₁CD是AB與B₁C所成角．
∵DC⊥平面BB₁C₁C，
∴DC⊥B₁C．于是∠DCB₁=90°．
∴AB與B₁C所成角為90°．

（2）連接BC₁交B₁C于O，則BO⊥B₁C．
又AB⊥平面BB₁C₁C，∴AB⊥BO．
∴BO是異面直線AB和B₁C的公垂線段，
易得BO=

2

2

a，
即AB與B₁C間的距離為

2

2

a．

（3）∵AB∥DC，AB?平面B₁DC，DC?平面B₁DC，
∴AB∥平面B₁DC，從而AB與平面B₁DC間的距離即為AB與B₁D間的距離．
∵BO⊥B₁C，BO⊥CD，B₁C∩DC=C，
∴BO⊥平面DB₁C．∴BO的長為B到平面B₁DC間的距離．
∵BO=

2

2

a，∴AB與B₁D間的距離為

2

2

a．

點(diǎn)評：本題考查正方體中的直線與直線的距離，解題方法是：找出兩條直線的公垂線段，通過解三角形的有關(guān)知識解答，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．