Question

在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，M（1，-3），N（5，1）.若點C滿足=t +（1-t）(t∈R).點C的軌道與拋物線y²=4x交于A、B兩點.

（Ⅰ）求證：⊥；

（Ⅱ）在x軸正半軸上是否存在一定點P（m,0),使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）點C的軌道方程x-y-4=0,

    由y²-4x-16=0.

∴·=x₁x₂+y₁y₂=0.

∴⊥.

（Ⅱ）假設存在點P（m,0）.

    設過P的直線l：y=k(x-m),代入y²=4x得k²x²-2(k²m+2)x+m²k²=0.

∴x₁x₂=m²,

y₁y₂==-4m.

    設l交拋物線于D、E，線段DE的中點為F

∵|OF|=|DE|,

∴OD⊥OE,

∴x₁x₂+y₁y₂=0,

∴m²-4m=0,

∴m=4,

∴P(4,0).

    當斜率不存在時|OP|=4，|DE|=8，|OP|=1[]2|DE|，故存在點P（4，0）.