Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}+a，x＞0}\\{{2^x}+a，x≤0}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=-x有且僅有一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥-1或a=-2$\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象的平移可知當(dāng)a≥-1時(shí)，2^x+a在x≤0時(shí)，與y=-x有一交點(diǎn)，而x+$\frac{1}{x}$+a在x＞0無交點(diǎn)，符合題意；
再考慮當(dāng)a＜-1時(shí)的情況，結(jié)合圖象的平移和二次函數(shù)的知識求出a的取值．

解答 解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象易知：
當(dāng)a≥-1時(shí)，y=2^x+a在x≤0時(shí)，與y=-x有一交點(diǎn)，y=x+$\frac{1}{x}$+a在x＞0與y=-x無交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)a＜-1時(shí)，只需x+$\frac{1}{x}$+a=-x有且僅有一根，
△=a²-8=0，
解得a=-2$\sqrt{2}$．
故答案為a≥-1或a=-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 考查了分段函數(shù)的應(yīng)用和圖象的平移．