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9.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若bcosC+csinB3=a
(1)求角B的大�。�
(2)若△ABC的面積為3,A>C,且其外接圓的面積為4π.試求邊a與邊c的值.

分析 (1)由已知,利用正弦定理可得sinA=sinBcosC+sinCsinB3,化簡整理即可得出;
(2)由已知及三角形面積公式可解得ac=4①,設(shè)外接圓半徑為R,由圓的面積公式可求R=2,利用正弦定理可得:asinA=32=csinC=2R=4,解得b,由余弦定理可得:a2+c2=16,②,由①②聯(lián)立,結(jié)合大邊對大角的知識即可得解a,c的值.

解答 解:(1)∵bcosC+csinB3=a,
∴sinA=sinBcosC+sinCsinB3
∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+33sinCsinB,sinC≠0,
化為cosB=33sinB,
化為tanB=3,B∈(0,π),
∴B=π3
(2)∵B=π3,△ABC的面積為3=12acsinB=34ac,可得:ac=4,①
∵其外接圓的面積為4π.設(shè)外接圓半徑為R,則可得:4π=πR2,解得:R=2,
∴由正弦定理可得:asinA=32=csinC=2R=4,解得:b=23,
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB可得:12=a2+c2-ac=a2+c2-4,可得:a2+c2=16,②
∴由①②聯(lián)立解得:{c=6+2a=62(A>C,故舍去),或{c=62a=6+2
∴可得:{c=62a=6+2

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理,三角形面積公式,大邊對大角,三角函數(shù)的單調(diào)性在解三角形中的應(yīng)用,考查了推理能力與計算能力,考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

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