Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁₁=$\frac{3π}{8}$，若f（x）=sin2x+2cos²x，記b_n=f（a_n），則數(shù)列{b_n}的前21項和為21．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的對稱中心，然后化簡求解數(shù)列的和．

解答 解：由題意f（x）=sin2x+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
易知f（x）關(guān)于（$\frac{3π}{8}$，1）中心對稱，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
故f（a₁）+f（a₂₁）=2f（a₁₁），且f（a₁₁）=f（$\frac{3π}{8}$）=1，
故數(shù)列{b_n}的前21項和S₂₁=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₁）=21．
故答案為：21．

點評 本題考查數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．