Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=2，向量$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$夾角為$\frac{2π}{3}$，則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的取值范圍是$[2-\frac{4\sqrt{3}}{3}，2+\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)$\overrightarrow$=（x，0）（x≥0），$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=θ，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=$\overrightarrow{BA}$．由于向量$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$夾角為$\frac{2π}{3}$，可得：∠AOB=θ∈$（0，\frac{2π}{3}）$.$sin（2θ+\frac{π}{6}）$∈[-1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}{sinθ}$=$\frac{|\overrightarrow|}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，化簡整理可得：$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2+$\frac{8}{3}$$si{n}^{2}（\frac{2π}{3}-θ）$-$\frac{8}{3}si{n}^{2}θ$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（2θ+\frac{π}{6}）$+2，即可得出．

解答 解：不妨設(shè)$\overrightarrow$=（x，0）（x≥0），$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=θ，
$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=$\overrightarrow{BA}$．
∵向量$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$夾角為$\frac{2π}{3}$，
∴∠AOB=θ∈$（0，\frac{2π}{3}）$．
∴$（2θ+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{3π}{2}）$，$sin（2θ+\frac{π}{6}）$∈[-1，1]．
在△OAB中，由正弦定理可得：$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}{sinθ}$=$\frac{|\overrightarrow|}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
∴$|\overrightarrow|$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{2π}{3}-θ）$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinθ=$\sqrt{{2}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2+$\frac{8}{3}$$si{n}^{2}（\frac{2π}{3}-θ）$-$\frac{8}{3}si{n}^{2}θ$
=$\frac{4}{3}$$[cos2θ-cos（\frac{4π}{3}-2θ）]$+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}cos2θ+\frac{1}{2}sin2θ）$+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（2θ+\frac{π}{6}）$+2∈$[2-\frac{4\sqrt{3}}{3}，2+\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的取值范圍是$[2-\frac{4\sqrt{3}}{3}，2+\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．
故答案為：$[2-\frac{4\sqrt{3}}{3}，2+\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

點評 本題考查了向量的三角形法則、正弦定理、數(shù)量積運算性質(zhì)、和差化積、倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．