Question

若x，y滿足約束條件

2x+2y≥1 x≥y 2x-y≤1

，且向量

a

=（3，2），

b

=（x，y），則

a

•

b

的取值范圍（　　）

• A、[

  5

  4

  ，5]
• B、[

  7

  2

  ，5]
• C、[

  5

  4

  ，4]
• D、[

  7

  2

  ，4]

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由數(shù)量積的定義計(jì)算出

a

•

b

=3x+2y，設(shè)z=3x+2y，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可．

解答： 解：∵向量

a

=（3，2），

b

=（x，y），
∴

a

•

b

=3x+2y，
設(shè)z=3x+2y，
作出不等式組對(duì)于的平面區(qū)域如圖：
由z=3x+2y，則y=-

3

2

x+

z

2

，
平移直線y=-

3

2

x+

z

2

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

3

2

x+

z

2

，
經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=-

3

2

x+

z

2

的截距最大，此時(shí)z最大，
由

x=y 2x-y=1

，解得

x=1 y=1

，即B（1，1），
此時(shí)z_max=3×1+2×1=5，
經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-

3

2

x+

z

2

的截距最小，此時(shí)z最小，
由

x=y 2x+2y=1

，解得

x= 1 4 y= 1 4

，即A（

1

4

，

1

4

），
此時(shí)z_min=3×

1

4

+2×

1

4

=

5

4

，
則

5

4

≤z≤5
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．