Question

已知函數(shù)f（x）=

1-2-x，x＜0 2x-1，x≥0

，則下列說法正確的是（　　）

• A、f（x）為偶函數(shù)，且在R上為增函數(shù)
• B、f（x）為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)
• C、f（x）為偶函數(shù)，且在R上為減函數(shù)
• D、f（x）為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷x＞0，x＜0均為增函數(shù)，且f（0）=0，f（x）為連續(xù)函數(shù)，再由奇偶性的定義即可判斷f（x）為奇函數(shù)．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

1-2-x，x＜0 2x-1，x≥0

，
當x＜0時，y=1-2^-x單調(diào)遞增，
當x≥0時，y=2^x-1單調(diào)遞增，
且x=0時，f（0）=0，即有函數(shù)連續(xù)，
則f（x）在R上遞增；
又x＞0時，f（x）=2^x-1，x＜0時，f（x）=1-2^-x．
令x＜0，則-x＞0，f（-x）=2^-x-1=-f（x），
令x＞0，則-x＜0，f（-x）=1-2^x=-f（x），
且f（0）=0，
即有f（-x）=-f（x）．
則有函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
即有f（x）為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)．
故選：B．

點評：本題考查分段函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，運用定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷是解題的關(guān)鍵．