Question

已知函數(shù)f（x）=x-2lnx-

a

x

+1，g（x）=e^x（2lnx-x）．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求g（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由題意先求函數(shù)的定義域，再求導f′（x）=1-

2

x

+

a

x2

，從而可得a≥2x-x²恒成立（x＞0）；從而解得．
（Ⅱ）求導g′（x）=e^x（

2

x

-1+2lnx-x），結(jié)合（Ⅰ）知，當a=2時，f（x）=x-2lnx-

2

x

+1，從而可得g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，從而求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得x＞0，f′（x）=1-

2

x

+

a

x2

，
由函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)得，
f′（x）≥0，即a≥2x-x²=-（x-1）²+1（x＞0）；
因為-（x-1）²+1≤1（當x=1時，取等號），
所以a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅱ）g′（x）=e^x（

2

x

-1+2lnx-x），
由（Ⅰ）得a=2時，f（x）=x-2lnx-

2

x

+1，
且f（x）在定義域上是增函數(shù)及f（1）=0，
所以，當x∈（0，1）時，f（x）＜0，
當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0．
所以，當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0．
g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故x=1時，g（x）取得最大值g（1）=-e．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題與最值問題，屬于中檔題．