Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形， 平面，已知為線段的中點.

（I）求證： 平面；

（II）求平面與平面所成銳二面角的余弦角.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（I）連接 和 交于 ，連接 ，利用中位線定理得出 ，故而 平面 ；(II)求出 ，以 為原點建立坐標系，求出兩平面的法向量，計算法向量的夾角即可得出二面角的余弦值.

試題解析：（I）連接和交于點，連接，因為四邊形為正方形，所以為的中點.

因為為的中點，所以.

因為平面平面，

所以平面.

(II)因為平面平面，

所以.

因為為正方形，所以.

因為平面，

所以平面.

因為平面，所以.

所以以為原點，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則.

因為平面平面,

所以.

因為，所以.

因為四邊形為正方形，

所以，

所以.

由四邊形為正方形，

得,

所以.

設(shè)平面的一個法向量為，又知，

由

令，得，

所以.

設(shè)平面的一個法向量為，又知,

由

令，得，

所以.

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，

又，

則.

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角的大小，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.