Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設向量 =（a， ）， =（cosC，c﹣2b），且 ⊥ ．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意 ⊥ ．可知： ， 即acosC+ =b，得sinAcosC+ sinC=sinB．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．
∴ ，∵sinC≠0，∴cosA= ．
又0＜A＜π∴A= ．
（Ⅱ）由正弦定理得：b= ， ，
l=a+b+c=1+ =1+
=1+2（ ）
=1+2sin（B+ ）．
∵A= ．
∴B∈ ，∴B+ ，
∴sin（B+ ） ．
故△ABC的周長l的范圍為（2，3]
【解析】（Ⅰ）利用向量的垂直，推出數(shù)量積為0，通過三角形內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)，確定角A的大��；（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表達式，通過三角形的內(nèi)角和以及兩角和的正弦函數(shù)化簡表達式，根據(jù)角的范圍，確定三角函數(shù)的范圍，然后求△ABC的周長l的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系的相關知識點，需要掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直才能正確解答此題．