Question

7．已知圓x²+y²-2x-2y+1=0，直線l：y=kx，直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，b），且滿足$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求k的值；
（2）當(dāng)b∈（1，$\frac{3}{2}$）時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)M（0，b）在圓C上，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時(shí)，滿足$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，把圓心坐標(biāo)（1，1）代入直線l：y=kx，可得k的值；
（Ⅱ）把直線l的方程代入圓的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，求得2+$\frac{2k-2}{{k}^{2}+1}$=b+$\frac{1}$，．令f（b）=b+$\frac{1}$，在區(qū)間（1，$\frac{3}{2}$）上單調(diào)遞增，求得f（b）∈（2，$\frac{13}{6}$），可得$\frac{2k-2}{{k}^{2}+1}$∈（0，$\frac{1}{6}$），解此不等式求得k的取值范圍（注意檢驗(yàn)△＞0）．

解答 解：（1）將圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+（y-1）²=1，
當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)M（0，1）在圓C上，
當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時(shí)，滿足MP⊥MQ．
∵圓心C的坐標(biāo)為（1，1），
∴k=1．
（Ⅱ）由 $\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y+1=0}\end{array}\right.$，消去y得：（k²+1）x²-（2k+2）x+1=0，①
設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{2（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
（x₁，y₁-b）（x₂，y₂-b）=0，即x₁•x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（1+k²）x₁•x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴（1+k²）•$\frac{1}{1+{k}^{2}}$-kb•$\frac{2（1+k）}{1+{k}^{2}}$+b²=0，即$\frac{2k（1+k）}{1+{k}^{2}}$=2+$\frac{2k-2}{{k}^{2}+1}$=$\frac{^{2}+1}$=b+$\frac{1}$，
∵b∈（1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)f（b）=b+$\frac{1}$，由f（b）在區(qū)間（1，$\frac{3}{2}$）上單調(diào)遞增，
f（b）∈（2，$\frac{13}{6}$），
∴$\frac{2k-2}{{k}^{2}+1}$∈（0，$\frac{1}{6}$），解得：1＜k＜6-$\sqrt{23}$或k＞6+$\sqrt{23}$，
k的取值范圍（1，6-$\sqrt{23}$）∪（6+$\sqrt{23}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計(jì)算能力，屬于難題．