Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，sinωx），向量$\overrightarrow$=（sinωx-cosωx，2$\sqrt{3}$ cosωx），設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1（x∈R）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，其中常數(shù)ω∈（0，2）．
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，用五點法作出函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運可求f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1，由圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，可得2ω•$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，結合ω∈（0，2），可得ω的值，進而利用正弦函數(shù)的性質即可得解．
（2）由函數(shù)的伸縮和平移變換求得g（x）的解析式，利用五點作圖法，列表后可作出函數(shù)的圖象．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，sinωx），向量$\overrightarrow$=（sinωx-cosωx，2$\sqrt{3}$ cosωx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=sin²ωx-cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+1=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1，
∵圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，其中常數(shù)ω∈（0，2）．
∴2ω•$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，得ω=$\frac{3k}{2}$+1，結合ω∈（0，2），可得ω=1；
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，
得y=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]+1=2sin2x+1．
再向下平移1個單位后得到函數(shù)g（x）=2sin2x．
列表：

2x	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{4}$		$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$
y	0	-2	0	2	0

函數(shù)的圖象為：

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的性質，五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題．