Question

8．設(shè){a_n}為等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，已知S₇=7，S₁₅=75，
（1）求數(shù){a_n}列的通項(xiàng)公式．
（2）記${b_n}=2{a_n}+5，{T_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，
是否存在最小的正整數(shù)m，使得對(duì)一切n∈N^*，T_n＜$\frac{m}{4}$恒成立？若存在求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：S₇=7a₄，S₁₅=15a₈，即可求得a₄=1，a₈=5，由d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{4}}{8-4}$=1，根據(jù)a_n=a₄+（n-4）d=n-3，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，b_n=2a_n+5=2n-1，$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂項(xiàng)法”求得T_n=$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$＜$\frac{1}{2}$，根據(jù)T_n＜$\frac{m}{4}$恒成立，即可求得m的值．

解答 解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：S₇=7a₄，即a₄=1，
S₁₅=15a₈=75，
∴a₈=5，
由d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{4}}{8-4}$=1，
a_n=a₄+（n-4）d=n-3，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n-3；
（2）b_n=2a_n+5=2n-1，
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，
=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
T_n=$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$＜$\frac{1}{2}$
由T_n＜$\frac{m}{4}$恒成立，即$\frac{m}{4}$≥$\frac{1}{2}$，
∴m≥2，
存在最小的正整數(shù)m=2，使得對(duì)一切n∈N^*，T_n＜$\frac{m}{4}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查不等式恒成問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．