Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足對任意x∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（x+y）
（1）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）如果當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0，求證：f（x）在（-1，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，則f（0）+f（0）=f（0），再令y=-x得，f（x）+f（-x）=f（0）=0；
（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 證明：（1）令x=y=0，則f（0）+f（0）=f（0），
故f（0）=0；
再令y=-x得，f（x）+f（-x）=f（0）=0；
故f（x）+f（-x）=0；
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=f（x₁-x₂）；
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0；
又∵當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0，
∴f（x₁-x₂）＞0；
故f（x₁）-f（x₂）＞0；
故f（x）在（-1，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．