【題目】各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列{an}同時(shí)滿足下列條件:

a1=m(mN*);②ann-1(n≥2);③na1+a2++an的因數(shù)(n ≥1).

(Ⅰ)當(dāng)m=5時(shí),寫出數(shù)列{an}的前五項(xiàng);

(Ⅱ)若數(shù)列{an}的前三項(xiàng)互不相等,且n≥3時(shí),an為常數(shù),求m的值;

(Ⅲ)求證:對(duì)任意正整數(shù)m,存在正整數(shù)M,使得nM時(shí),an為常數(shù).

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見(jiàn)詳解.

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,即可由題意求得結(jié)果;

(Ⅱ)對(duì)的取值進(jìn)行分類討論,即可容易求得結(jié)果;

(Ⅲ)根據(jù)已知條件,結(jié)合題意,利用之間的關(guān)系,即可進(jìn)行證明.

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,

,且的因數(shù),故可得;

,且的因數(shù),故可得;

,且的因數(shù),故可得;

,且的因數(shù),故可得;

綜上可得:.

(Ⅱ)(1)當(dāng)時(shí),

,則

且對(duì),都為整數(shù),故;

,則,

且對(duì)都為整數(shù),故;

(2)當(dāng)時(shí),

,則,

且對(duì)都為整數(shù),故,不符合題意;

,則,

且對(duì)都為整數(shù),故

綜上所述:的值為.

(Ⅲ)證明:對(duì)于,令

又對(duì)每一個(gè)都是正整數(shù),

其中至多出現(xiàn)個(gè).

故存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),必有

當(dāng)時(shí),則

有題設(shè)可知

以及均為整數(shù),

都為常數(shù).

故可得為常數(shù).

故對(duì)任意正整數(shù)m,存在正整數(shù)M,使得nM時(shí),an為常數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.

1)求C1的極坐標(biāo)方程;

2)若C1與曲線C2ρ2sinθ交于A,B兩點(diǎn),求|OA||OB|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在10件產(chǎn)品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件,求:

I) 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

II) 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為,觀影人數(shù)記為,其函數(shù)圖象如圖(1)所示.由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期,相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案,圖(2)、圖(3)中的實(shí)線分別為調(diào)整后的函數(shù)圖象.

給出下列四種說(shuō)法:

①圖(2)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并提高成本;

②圖(2)對(duì)應(yīng)的方案是:保持票價(jià)不變,并降低成本;

③圖(3)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并保持成本不變;

④圖(3)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并降低成本.

其中,正確的說(shuō)法是____________.(填寫所有正確說(shuō)法的編號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為,觀影人數(shù)記為,其函數(shù)圖象如圖(1)所示.由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期,相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案,圖(2)、圖(3)中的實(shí)線分別為調(diào)整后的函數(shù)圖象.

給出下列四種說(shuō)法:

①圖(2)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并提高成本;

②圖(2)對(duì)應(yīng)的方案是:保持票價(jià)不變,并降低成本;

③圖(3)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并保持成本不變;

④圖(3)對(duì)應(yīng)的方案是:提高票價(jià),并降低成本.

其中,正確的說(shuō)法是____________.(填寫所有正確說(shuō)法的編號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),且,求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某品牌電腦體驗(yàn)店預(yù)計(jì)全年購(gòu)入臺(tái)電腦,已知該品牌電腦的進(jìn)價(jià)為/臺(tái),為節(jié)約資金決定分批購(gòu)入,若每批都購(gòu)入為正整數(shù))臺(tái),且每批需付運(yùn)費(fèi)元,儲(chǔ)存購(gòu)入的電腦全年所付保管費(fèi)與每批購(gòu)入電腦的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比(比例系數(shù)為),若每批購(gòu)入臺(tái),則全年需付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi).

1)記全年所付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)之和為元,求關(guān)于的函數(shù).

2)若要使全年用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的資金最少,則每批應(yīng)購(gòu)入電腦多少臺(tái)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著智能手機(jī)的普及,使用手機(jī)上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘I畹囊徊糠,很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來(lái)越大.某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了人口規(guī)模相當(dāng)?shù)?/span>個(gè)城市采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn),經(jīng)過(guò)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià): (單位:元/月)和購(gòu)買總?cè)藬?shù)(單位:萬(wàn)人)的關(guān)系如表:

定價(jià)x(元/月)

20

30

50

60

年輕人(40歲以下)

10

15

7

8

中老年人(40歲以及40歲以上)

20

15

3

2

購(gòu)買總?cè)藬?shù)y(萬(wàn)人)

30

30

10

10

(Ⅰ)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),請(qǐng)用線性回歸模型擬合的關(guān)系,求出關(guān)于的回歸方程;并估計(jì)元/月的流量包將有多少人購(gòu)買?

(Ⅱ)若把元/月以下(不包括元)的流量包稱為低價(jià)流量包,元以上(包括元)的流量包稱為高價(jià)流量包,試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí),填寫下面列聯(lián),并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下,認(rèn)為購(gòu)買人的年齡大小與流量包價(jià)格高低有關(guān)?

定價(jià)x(元/月)

小于50元

大于或等于50元

總計(jì)

年輕人(40歲以下)

中老年人(40歲以及40歲以上)

總計(jì)

參考公式:其中

其中

參考數(shù)據(jù):

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)(其中).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖像在處的切線方程;

(2)若恒成立,求的取值范圍;

(3)設(shè),且函數(shù)有極大值點(diǎn),求證: .

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