Question

1．如圖矩形ABCD兩條對角線相交于M（2，0），AB邊所在直線方程為x-3y-6=0，點T（-1，1）在AD邊所在直線上，
（1）求AD邊所在直線的方程；
（2）求矩形ABCD外接圓的方程；
（3）過外接圓外一點N（1，6），向圓作兩條切線，切點分別為E、F，求EF所在直線方程．

Answer 1

分析 （1）AB邊所在直線方程為x-3y-6=0，令x=0，可得y，A坐標(biāo)．由k_AD=-$\frac{1}{{k}_{AB}}$，利用點斜式即可得出．
（2）r²=|AM|²=8，即可得出矩形ABCD外接圓的方程．
（3）線段MN的中點P$（\frac{3}{2}，3）$，可得以MN為直徑的圓的方程為：$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-3）^{2}$=$\frac{37}{4}$，與（x-2）²+y²=8相減即可得出EF所在直線方程．

解答 解：（1）AB邊所在直線方程為x-3y-6=0，令x=0，可得y=-2．∴A（0，-2）．
k_AD=-$\frac{1}{{k}_{AB}}$=-$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=-3．
∴AD邊所在直線的方程為：y=-3x-2，即3x+y+2=0．
（2）r²=|AM|²=2²+2²=8．
∴矩形ABCD外接圓的方程為（x-2）²+y²=8．
（3）線段MN的中點P$（\frac{3}{2}，3）$，|MP|²=$（\frac{3}{2}-2）^{2}+{3}^{2}$=$\frac{37}{4}$．
∴以MN為直徑的圓的方程為：$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-3）^{2}$=$\frac{37}{4}$，與（x-2）²+y²=8相減可得：x-6y+6=0．

點評 本題考查了斜率計算公式、中點坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點斜式、斜截式、圓的方程、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．