Question

7．若函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在區(qū)間[1，2]不單調(diào)，則b的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [4，+∞）
• C． （-∞，-1]∪[4，+∞）
• D． （-1，4）

Answer 1

分析 先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性時(shí)b的取值范圍，再利用補(bǔ)集的思想求出函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在區(qū)間[1，2]不單調(diào)時(shí)，b的取值范圍．

解答 解：f′（x）=-x+$\frac{x}$，當(dāng)f′（x）=-x+$\frac{x}$≥0在[1.2]恒成立時(shí)，即b≥x²在[1.2]恒成立，b≥（x²）_max，
     即b≥4時(shí)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增；
  當(dāng)f′（x）=-x+$\frac{x}$≤0在[1.2]恒成立時(shí)，即b≤（x²）min在[1.2]恒成立，
   即 b≤1時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，
  所以再利用補(bǔ)集的思想函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在區(qū)間[1，2]不單調(diào)時(shí)，b的取值范圍為（-1，4），
  故選D．

點(diǎn)評 本題考查了已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍的基本方法，并用了“正難則反”的補(bǔ)集的思想，屬于中檔題．