Question

19．若非零向量$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=0，|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}|$，則$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由條件可得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$為非零向量，并可得出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，然后對(duì)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，進(jìn)而便可得出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$為非零向量；
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=0$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$；
∴由$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$得，${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞+{\overrightarrow{a}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角．