Question

某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A產(chǎn)品的利潤與投資關(guān)系如圖（1）所示；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示（注：利潤和投資單位：萬元）．

（1）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．問怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）對于A，當0≤x≤2時，因為圖象過（2，0.5）和原點，當x＞2時，圖象過（2，0.5）和（3，1），可得函數(shù)的解析式；對于B，易知y=2

x

(x≥0)．
（2）設投入B產(chǎn)品x萬元，則投入A產(chǎn)品（18-x）萬元，利潤為y萬元．分16≤x≤18時，0≤x＜16時兩種情況求出函數(shù)的最大值，比較后可得答案．

解答： 解：（1）對于A，當0≤x≤2時，因為圖象過（2，0.5），所以y=

1

2

x，…2分
當x＞2時，令y=kx+b，因圖象過（2，0.5）和（3，1），得

1 2 =2k+b 1=3k+b

，
解得k=

1

2

，b=-

1

2

，故y=

1 2 x，0≤x≤2 1 2 x- 1 2 ，x＞2

；…4分
對于B，易知y=2

x

(x≥0)．…5分
（2）設投入B產(chǎn)品x萬元，則投入A產(chǎn)品（18-x）萬元，利潤為y萬元．
若16≤x≤18時，則0≤18-x≤2，則投入A產(chǎn)品的利潤為

1

2

(18-x)，投入B產(chǎn)品的利潤為2

x

，則y=

1

2

(18-x)+2

x

，令

x

=t，t∈[4，3

2

]，
則y=-

1

2

t2+2t+9，此時當t=4，即x=16時，y_max=9萬元；…8分
當0≤x＜16時，2＜18-x≤18，則投入A產(chǎn)品的利潤為

1

2

(18-x)-

1

2

，投入B產(chǎn)品的利潤為2

x

，則y=

1

2

(18-x)+2

x

-

1

2

，令

x

=t，t∈[0，4），
則y=-

1

2

t2+2t+

17

2

，當t=2時，即x=4時，y_max=10.5萬元；…11分
由10.5＞9，
綜上，投入A產(chǎn)品14萬元，B產(chǎn)品4萬元時，總利潤最大值為10.5萬元．…12分．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的選擇與應用，函數(shù)的最值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．